sábado, 8 de febrero de 2014

Probabilidad y Estadistica

TEORÍA DE CONJUNTO 
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» delinfinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas deBernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría básica de conjuntos

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
{\mathbb {N}}\subseteq {\mathbb {Z}}\subseteq {\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {R}}\subseteq {\mathbb {C}}
  • El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

Álgebra de conjuntos[editar · editar código]

Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
  • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
  • Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
  • Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
  • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algúnconjunto referencial) que no pertenecen a A.
  • Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
  • Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados(a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Teoría axiomática de conjuntos       La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de éstos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosaparadoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.







PERMUTACIÓN 
En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
a definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.
Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo,X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
  • 1 → 1
  • 2 → 2
  • 3 → 3
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
  • 1 → 3
  • 2 → 2
  • 3 → 1
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones (aunque se puede considerar a las permutaciones como un tipo especial de variaciones), todas sin repetición o con ella.
Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Fórmula del número de permutaciones[editar · editar código]

Dado un conjunto finito A\,\! de n\,\! elementos, el número de todas las permutaciones es igual a factorial de n:
n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!.
Demostración: Dado que hay n\,\! formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos (n-1)\,\! formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos [n-(k-1)]\,\!posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\! formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. \Box \,\!.
Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.
Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

Notaciones


Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.
La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado \{1,...,8\} podemos expresar una permutación \sigma sobre éste mediante una matriz de correspondencias:
\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&4&5&7&6&1&8&2\end{pmatrix}}
Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa \sigma ^{{-1}} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:
\sigma ^{{-1}}={\begin{pmatrix}3&4&5&7&6&1&8&2\\1&2&3&4&5&6&7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\6&8&1&2&3&5&4&7\end{pmatrix}}

Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.
Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:
  1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
  2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
  3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.
Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, \sigma  quedaría expresada como composición de dos ciclos:
\sigma = (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:
\sigma  = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)
La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones[editar · editar código]


Loupe light.svg Permutaciones de 4 elementos

De izquierda a derecha aparecen las permutaciones en forma matricial, en forma de vector y como producto de trasposiciones.Los números a la derecha indican la cantidad de trasposiciones con que se puede escribir cada permutación (este número no es único, pero sí su paridad). Las permutaciones impares están marcadas con verde o naranja.
Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).
Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:
(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1},a_{2})(a_{2},a_{3})\cdots (a_{{n-1}},a_{n}).
No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si \sigma  admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:
\varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )\approx ({\mathbb {Z}}_{2},+),\qquad \varepsilon (\sigma )=(-1)^{m}
Donde \scriptstyle S_{n} es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que existen trasposiciones \scriptstyle \tau _{i} tales que:
\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{m}\in S_{n}

Permutación par y permutación impar

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.
Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:
  • (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
  • (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
  • e (la identidad) también es par.
En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot ) que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.

Estructura de grupo

Dado un número natural n\geq 1, consideramos el conjunto X=\{1,2,...,n\}. Definimos el grupo de permutaciones de nelementos, que denotaremos por S_{n}, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de X a X.
Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por A_{n}..
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5     n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Permutaciones
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
permutaciones
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutaciones circulares
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
solución
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
COMBINACIONES

se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Combinaciones
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones
Las combinaciones se denotan por variaciones
Ejemplos:
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
Combinaciones
Combinaciones
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Combinaciones
En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.

Enunciado del problema

En este caso el problema que se plantea es como sigue: se tienen objetos de n tipos diferentes. ¿Cuántas k-disposiciones se pueden formar usando estos, si no se toma en cuenta el orden de los elementos en la disposición ( en otras palabras, diferentes disposiciones deben distinguirse por lo menos en un objeto)?1

Definición

De manera similar a como los coeficientes binomiales o combinaciones {\binom {n}{k}}, corresponden al número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto de k elementos a partir de un conjunto dado con n elementos, es posible plantear el problema de determinar el número de formas de escoger un multisubconjunto de un conjunto.
Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos, el orden en que se mencionan es irrelevante.
Por ejemplo, {a, e, e, i, o, o, o, u} es el mismo multiconjunto que {e, i, o, u, a, e, o, o}
Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}. Listemos todos los posibles multiconjuntos de 3 elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como si fuesen una palabra:
aaaaabaacaadabbabcabdaccacdadd
bbbbbcbbdbccbcdbddcccccdcddddd
Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto {a, c, a} es el mismo que el multiconjunto {a, a, c}. Estas selecciones donde se permite repetición pero no se toma en cuenta el orden se denominancombinaciones con repetición.

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con kelementos de un conjunto con n elementos se denota2 3
\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)
y corresponde al número de k-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con n elementos.
Así, del listado inicial podemos deducir que \scriptstyle \left(\!\!{4 \choose 3}\!\!\right)=20.

Cálculo del número de combinaciones con repetición

Antes de establecer una fórmula para el cálculo directo de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemplo clásico de problema relacionado con multiconjuntos.
 [Contraer] ¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?
Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).
Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2 caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 3 a Daniel. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como
  • AABBBCCDDD
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9 restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la representamos como
  • ADDDDDDDDDD
De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AABBBBBDDD corresponde a:
  • Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto, ninguno a Carlos y 3 a Daniel.
De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que se puede repartir los caramelos es igual al número de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a un multiconjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total de formas de repartir los caramelos es \scriptstyle \left(\!\!{4 \choose 10}\!\!\right).
La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretación combinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer la repartición. Para obtener la fórmula procedemos a usar la siguiente estratagema.
Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en 4 grupos. Para ello colocamos 10 objetos en línea e insertamos 3 separadores para dividirlos en 4 secciones. Por ejemplo, si representamos los caramelos con asteriscos y los separadores con barras, los ejemplos mencionados serían:
  • AABBBCCDDD → **/***/**/***
  • ADDDDDDDDDD → *///*********
  • AABBBBBDDD → **/*****//***
Y cualquier serie de 10 asteriscos separados por 3 barras (permitiendo grupos vacíos) corresponde a una forma de repartir y a su vez, a un multiconjunto:
  • ****/***/**/* → AAAABBBCCD (4 caramelos para Alonso, 3 para Beto, 2 para Carlos y 1 para Daniel)
  • *****/*****// → AAAAABBBBB (5 caramelos para Alonso y 5 para Beto)
De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de series de 10 asteriscos y 3 barras. Pero esto es precisamente el número de formas de elegir 3 objetos de un conjunto con 13 (de las 13 posiciones se están escogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado es el coeficiente binomial {\binom {13}{3}}=286.
Este argumento se puede aplicar en general: repartir k objetos entre n personas, corresponde a formar multiconjuntos de tamaño k(los karamelos) escogidos de un conjunto con n (los niños), y a su vez esto puede enumerarse con una serie de k asteriscos y n-1barras, que puede realizarse de {\binom {k+(n-1)}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}} formas. Queda establecido así el siguiente teorema.
El número \scriptstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos satisface:
  • Es igual al número de combinaciones con repetición de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos.
  • Es igual al número de formas de repartir k objetos en n grupos.
Y además
\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}.

Otras interpretaciones combinatorias

Existen dos otras interpretaciones combinatorias importantes para los coeficientes \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={\binom {k+n-1}{k}}
La primera interpretación está relacionada con el número de soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas. Retomando el ejemplo de los 10 caramelos y los 4 niños, observamos que cada repartición corresponde a una solución (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) de la ecuación
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10
si cada variable puede tomar únicamente valores enteros no negativos.
La correspondencia está dada por asignar a la variable i-ésima el número de caramelos recibidos por el i-ésimo niño. Como ejemplo:
  • AABBBCCDDD → x_{1}=2,x_{2}=3,x_{3}=2,x_{4}=3\,.
  • ADDDDDDDDDD → x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=0,x_{4}=9\,.
  • AABBBBBDDD → x_{1}=2,x_{2}=5,x_{3}=0,x_{4}=3\,.
La generalización sería que \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) representa el número de soluciones de la ecuación
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=k,
si las variables únicamente toman valores enteros no negativos.
La segunda interpretación es que \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) corresponde al número de sucesiones monótonas de k términos positivos, acotadas por n, es decir, cuenta el número de formas de llenar la sucesión
1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\leq n.
Esta interpretación se verifica a partir de la anterior tomando tantos términos iguales a i como tenga valor x_{i}.
Ejemplo:
  • AABBBCCDDD: x_{1}=2,x_{2}=3,x_{3}=2,x_{4}=3\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 1\leq 2\leq 2\leq 2\leq 3\leq 3\leq 4\leq 4\leq 4.
  • ADDDDDDDDDD: x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=0,x_{4}=9\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4.
  • AAAABBBBBC: x_{1}=4,x_{2}=5,x_{3}=1,x_{4}=0\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 1\leq 1\leq 1\leq 2\leq 2\leq 2\leq 2\leq 2\leq 3.
El número \scriptstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos puede interpretarse también como:
  • El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=k.
  • El número de sucesiones monótonas positivas 1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\leq n.

Identidades

Las combinaciones con repetición satisfacen varias identidades que recuerdan o se asemejan a las identidades para coeficientes binomiales.
Por ejemplo, la identidad de Pascal \displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}={\binom {n}{k}} tiene su equivalente en la siguiente identidad:
Para cualquier n\geq 0,k\geq 0 (exceptuando n=k=0) se cumple
\left(\!\!{{n-1} \choose k}\!\!\right)+\left(\!\!{n \choose {k-1}}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)



COBAO 04 "EL TULE"
ALUMNO: HERNÁNDEZ CUEVAS JORGE ALBERTO   GRUPO: 633
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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